ההבדל בין פונקציה בדידה לבין פונקציה רציפה

פונקציה דיסקרטית לעומת פונקציה רציפה

פונקציות הן אחד הכיתות החשובות ביותר של אובייקטים מתמטיים, שהם בשימוש נרחב כמעט בכל תחומי המשנה של המתמטיקה. כמו שמותיהם מציעים הן פונקציות נפרדות פונקציות רציפה הם שני סוגים מיוחדים של פונקציות.

פונקציה היא היחס בין שתי קבוצות שהוגדרו בצורה כזו, שלכל אלמנט בקבוצה הראשונה, הערך המתאים לו במערך השני הוא ייחודי. תן f להיות פונקציה המוגדרת מתוך הסט A לתוך קבוצה B. לאחר מכן עבור כל x ε A, הסמל f (x) מציין את הערך הייחודי בקבוצת B המתאימה ל- x. הוא נקרא תמונת x תחת f. לכן, יחס f מ- A ל- B הוא פונקציה, אם ורק אם, עבור כל xε A ו- y ε A; אם x = y אז f (x) = f (y). קבוצה A נקראת התחום של הפונקציה f, והיא הקבוצה שבה מוגדרת הפונקציה.

לדוגמה, שקול את היחס

f מ- R אל R המוגדר על ידי f (x) = x + 2 עבור כל xε <. זוהי פונקציה שהתחום שלה הוא R, עבור כל מספר x ו- y x, y x = y < f (x) = x + 2 = y + 2 = f). אבל היחס g מ- N אל N מוגדר על ידי g (x) = a, כאשר 'a' הוא גורם ראשוני של x אינו פונקציה g (6) = 3, כמו גם g (6) = 2. -> -> מהי פונקציה בדידה? פונקציה דיסקרטית היא פונקציה שהתחום שלה הוא ספור לכל היותר. פשוט, זה אומר כי ניתן ליצור רשימה הכוללת את כל האלמנטים של התחום.

כל קבוצה סופית היא לכל היותר ספירה. קבוצת המספרים הטבעיים ומערכת המספרים הרציונליים הם דוגמאות לכל היותר אינסופיות. קבוצת המספרים הריאליים ומערכת המספרים הלא רציונליים אינם ניתנים לספירה. שתי הקבוצות אינן ברורות. זה אומר שאי אפשר להכין רשימה הכוללת את כל האלמנטים של הקבוצות האלה.

אחת הפונקציות הבדידות השכיחות ביותר היא הפונקציה העובדתית.

f

: NU {0} → N מוגדר רקורסיבית על ידי

f (n) = n f (n-1) עבור כל n ≥ 1 ו- f (0) = 1 נקרא פונקציית העובד. שים לב כי התחום שלה N U {0} הוא לכל היותר ספור. מהי פונקציה מתמשכת? <<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< k) כמו x → k. אז

f

היא פונקציה מתמשכת. כלומר, ניתן לבצע f (x) קרוב לשרירותי f (k) על ידי ביצוע x קרוב מספיק ל- k עבור כל k בתחום של f. שקול את הפונקציה f (x) = x + 2 על R. ניתן לראות כי x x → k, x + 2 → k + 2 הוא f x) → f (k). לכן, f היא פונקציה מתמשכת. עכשיו, שקול g

על מספרים ריאליים חיוביים g (x) = x x> 0 ו- g (x) = 0 אם x = 0. לאחר מכן, פונקציה זו איננה פונקציה רציפה, מכיוון שהגבול של g (x) אינו קיים (ולכן הוא אינו שווה ל- g (0)) x x → 0. מה ההבדל בין פונקציה נפרדת לבין רציפה? פונקציה דיסקרטית היא פונקציה שהתחום שלה הוא ספור לכל היותר, אבל זה לא צריך להיות המקרה פונקציות רציפה. • כל הפונקציות הרציפות ƒ כוללות את המאפיין ƒ (x) → ƒ (k) x x → k עבור כל x ועבור כל k בתחום של ƒ, אבל זה לא המקרה בכמה פונקציות דיסקרטיות.