ההבדל בין רימן אינטגרל ו Lebesgue אינטגרל
רימן אינטגרל לעומת לבג אינטגרל
אינטגרציה היא נושא מרכזי בחישוב. במובן של ברודר, האינטגרציה יכולה להיראות כתהליך הפוך של הבחנה. כאשר מודלים של בעיות בעולם האמיתי, קל לכתוב ביטויים הקשורים נגזרים. במצב כזה, פעולת האינטגרציה נדרשת כדי למצוא את הפונקציה, אשר נתנה נגזרת מסוימת.
- <->מזווית אחרת, האינטגרציה היא תהליך, אשר מסכם את המוצר של פונקציה ƒ (x) ו δx, כאשר δx נוטה להיות גבול מסוים. מסיבה זו, אנו משתמשים בסמל האינטגרציה כ- ∫. הסמל ∫ הוא למעשה, מה שאנחנו מקבלים על ידי מתיחה של האות s כדי להתייחס לסכום.
רימן אינטגרל
שקול פונקציה y = ƒ (x). האינטגרל של y בין a ו- b, שבו a ו- b שייך לקבוצה x, כתוב כ- ((() dx = [ F (x)] a → b = F < ( b) - F (). זה נקרא אינטגרל מובהק של פונקציה אחת מוערך רציף y = ƒ (x) בין a ו b. זה נותן את האזור מתחת לעיקול בין ו b. זה נקרא גם אינטגרל רימן. אינטגרל רימן נוצר על ידי ברנהרד רימן. אינטגרל רימן של פונקציה מתמשכת מבוסס על מדד הירדן, ולכן הוא מוגדר גם כגבול של רימן של הפונקציה. עבור פונקציה מוערכת אמיתית שהוגדרה על מרווח סגור, האינטגרל של רימן של הפונקציה ביחס למחיצה x 1, x 2 , x, n המוגדר על המרווח [a, b] ו- t 1 , t 2 , … t n , כאשר x i ≤ t i ≤ x i + 1 עבור כל i ε {1, 2, … n}, סכום רימן מוגדר כ- Σ i = o ל- n = 1 ƒ (t i ) (x i + 1 - x i ). -> -> Lebesgue אינטגרל Lebesgue הוא סוג אחר של אינטגרל, אשר מכסה מגוון רחב של מקרים מאשר אינטגרל רימן עושה. אינטגרל לבג הוצג על ידי אנרי Lebesgue בשנת 1902. שילוב Legesgue יכול להיחשב הכללה של אינטגרציה רימן. -> ->
למה אנחנו צריכים ללמוד עוד אינטגרל?הבה נבחן את הפונקציה האופיינית ƒ
A (x) =
{0 אם, x לא ε A
1 אם, x ε A על סט א. צירוף לינארי סופי של פונקציות אופייניות, המוגדר כ- F (x) = Σ a i ƒ E i (x) אם E i ניתן למדידה עבור כל i. האינטגרל Lebesgue של F (x) מעל E מסומן על ידי E ∫ ƒ (x) dx. הפונקציה F (x) אינה רימן אינטגראבל. לכן Lebesgue אינטגרל הוא refrase אינטגרל רימן, אשר יש מגבלות על הפונקציות להיות משולב.
